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太基礎，不重要者 以及 普通的名詞解釋 將不會被列出來

# 跨章節總整理 & 比較

  • 矩陣高次方相乘方法

    1. 多乘幾次，乘出規則即可化簡
    2. 遇到形狀為 [一]*[|] 者，注意可變成 1x1 矩陣
    3. 注意由單位矩陣列對調幾次後所成的矩陣，多換幾次即可變回單位矩陣
    4. p467 & p18 旋轉矩陣
    5. 利用矩陣的分割來更方便的找到規律

  • 矩陣的分解

    1. 任一 n 階方陣可表為 "對稱矩陣" + "斜對稱矩陣"，屬唯一分解

  • 解線性方程組的的方法

    1. 高斯喬丹消去法 (p116)
    2. A 可逆時，先求出 A-1，則 x = A-1 b (p126)
    3. 對 A 做 LU 分解 (若可以的話) (p130)
    4. A 可逆時，Cramer's rule (p232)

# 各章節整理

# Ch1 矩陣

  • JpJ_{p}: p*p 的全 1 矩陣，滿足 Jp⋅Jp=pJpJ_{p} \cdot J_{p} = p J_{p} (p4)

  • 矩陣乘法滿足的性質: (p12)

名稱
1. 結合律 (associative)(AB)C = A(BC)
2. 分配律 (distributive)(B+C)A = BA + CA
3. 指數運算Ar As = Ar+s; (Ar)s = Ars
上三角 / 下三角 / 對角 矩陣同類相乘必為同類

  • 矩陣高次方相乘方法 (p14)

    1. 多乘幾次，乘出規則即可化簡
    2. 遇到形狀為 [一]*[|] 者，注意可變成 1x1 矩陣

  • idempotent (冪等)，滿足 H2 = H，如: (p15)

B=13J3=13[111111111]，B2=BB = \frac{1}{3} J_{3} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}，B^2 = B

  • 注意由單位矩陣列對調幾次後所成的矩陣，多換幾次即可變回單位矩陣 (p17)

令

A=[1000]B=[0010]C=[100−1]D=[0011]A = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix} B = \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix} C = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{bmatrix} D = \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1\\ \end{bmatrix}

則

  • 矩陣乘法不恆成立的性質: (p22)

    1. ⭐ 乘法交換律 "(A + B)2 = A2 + 2AB + B2" 不恆成立，(A,B) 代入即為反例
    2. "若 AB = O, 則 A = O 或 B = O" 不恆成立，A, B 代入即為反例
    3. " 對任意正整數 n，若 An = O，則 A = O" 不恆成立，B 代入即為反例
    4. " 若 A2 = A"，則 A = O 或 A = I" 不恆成立，A 代入即為反例
    5. " 若 A2 = I"，則 A = I 或 A = -I" 不恆成立，C 代入即為反例
    6. ⭐ 乘法消去律 "若 AB = AC 且 A ≠ O，則 B = C" 不恆成立，(A,B,D) 代入即為反例

  • 設 A,B,C 為矩陣；x 為行向量；y 為列向量，則: (p27,29)

展開切割行Ax=A(1)x1+A(2)x2+...+A(n)xnABj=Cj列yA=y1A(1)+y2A(2)+...+ynA(n)A(i)B=C(i)\begin{aligned} &\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text {} & \text {展開} & \text {切割} \\ \hline 行 & Ax = A^{(1)}x_{1} + A^{(2)}x_{2} + ... + A^{(n)}x_{n} & AB^{j} = C^{j} \\ \hline 列 & yA = y_{1}A_{(1)} + y_{2}A_{(2)} + ... + y_{n}A_{(n)} & A_{(i)}B = C_{(i)} \\ \hline \end{array} \end{aligned}

  • 若矩陣的分割後每一塊皆是方陣，且除了主對角線之外的 block 皆為 O，稱為 block diagonal matrices (p28)

進度: p38-47

可逆與塊狀矩陣 (p57)

  • 上 (下) 三角的反矩陣必為上 (下) 三角，且可用以下方法推得。

A=[A11OA21A22]A = \begin{bmatrix} A_{11} & O\\ A_{21} & A_{22}\\ \end{bmatrix}

，且 A11 和 A22 可逆，令

A−1=[PQRS]A^{-1} = \begin{bmatrix} P & Q\\ R & S\\ \end{bmatrix}

則由 AA-1=I，爆開即可得 A-1 的值。

  • 對角矩陣的反矩陣為

A−1=[A11−1OOA22−1]A^{-1} = \begin{bmatrix} A_{11}^{-1} & O\\ O & A_{22}^{-1}\\ \end{bmatrix}

# Ch2 線性方程組求解

  • 若 L: Ax=b 有解，則稱此系統為 一致的(consistent)
  • b=0 時 L 為 齊次(homogeneous) 方程組，此時 Ax=0 的解空間又稱為 Null(A) 或 kernel
  • 矩陣皆列等價於所化成的 (簡化) 列梯陣，即兩系統有相同解

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