# 跨章節總整理 & 比較

• 矩陣高次方相乘方法

  1. 多乘幾次，乘出規則即可化簡
  2. 遇到形狀為 [一]*[|] 者，注意可變成 1x1 矩陣
  3. 注意由單位矩陣列對調幾次後所成的矩陣，多換幾次即可變回單位矩陣
  4. p467 & p18 旋轉矩陣
  5. 利用矩陣的分割來更方便的找到規律

• 矩陣的分解

  1. 任一 n 階方陣可表為 "對稱矩陣" + "斜對稱矩陣"，屬唯一分解

# 各章節整理

# Ch1 矩陣

• $J_{p}$: p*p 的全 1 矩陣，滿足 $J_{p} \cdot J_{p} = p J_{p}$ (p4)

• 矩陣乘法滿足的性質: (p12)

• 矩陣高次方相乘方法 (p14)

  1. 多乘幾次，乘出規則即可化簡
  2. 遇到形狀為 [一]*[|] 者，注意可變成 1x1 矩陣

• idempotent (冪等)，滿足 H² = H，如: (p15)

$$B = \frac{1}{3} J_{3} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}，B^2 = B$$

• 注意由單位矩陣列對調幾次後所成的矩陣，多換幾次即可變回單位矩陣 (p17)

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix} B = \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix} C = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{bmatrix} D = \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1\\ \end{bmatrix}$$

則

• 矩陣乘法不恆成立的性質: (p22)

  1. ⭐ 乘法交換律 "(A + B)² = A² + 2AB + B²" 不恆成立，(A,B) 代入即為反例
  2. "若 AB = O, 則 A = O 或 B = O" 不恆成立，A, B 代入即為反例
  3. " 對任意正整數 n，若 Aⁿ = O，則 A = O" 不恆成立，B 代入即為反例
  4. " 若 A² = A"，則 A = O 或 A = I" 不恆成立，A 代入即為反例
  5. " 若 A² = I"，則 A = I 或 A = -I" 不恆成立，C 代入即為反例
  6. ⭐ 乘法消去律 "若 AB = AC 且 A ≠ O，則 B = C" 不恆成立，(A,B,D) 代入即為反例

• 設 A,B,C 為矩陣；x 為行向量；y 為列向量，則: (p27,29)

$$\begin{aligned} &\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text {} & \text {展開} & \text {切割} \\ \hline 行 & Ax = A^{(1)}x_{1} + A^{(2)}x_{2} + ... + A^{(n)}x_{n} & AB^{j} = C^{j} \\ \hline 列 & yA = y_{1}A_{(1)} + y_{2}A_{(2)} + ... + y_{n}A_{(n)} & A_{(i)}B = C_{(i)} \\ \hline \end{array} \end{aligned}$$

• 若矩陣的分割後每一塊皆是方陣，且除了主對角線之外的 block 皆為 O，稱為 block diagonal matrices (p28)

進度: p38-47

可逆與塊狀矩陣 (p57)

• 上 (下) 三角的反矩陣必為上 (下) 三角，且可用以下方法推得。

$$A = \begin{bmatrix} A_{11} & O\\ A_{21} & A_{22}\\ \end{bmatrix}$$

，且 A₁₁ 和 A₂₂ 可逆，令

$$A^{-1} = \begin{bmatrix} P & Q\\ R & S\\ \end{bmatrix}$$

則由 AA^-1=I，爆開即可得 A^-1 的值。

• 對角矩陣的反矩陣為

$$A^{-1} = \begin{bmatrix} A_{11}^{-1} & O\\ O & A_{22}^{-1}\\ \end{bmatrix}$$

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